已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点.求证：以为直径的圆过定点.

Question

已知椭圆 的离心率 ，长轴的左右端点分别为 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设动直线 与曲线 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 .
求证：以 为直径的圆过定点 .

Answer 1

已知椭圆 的离心率 ，长轴的左右端点分别为 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设动直线 与曲线 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 .
求证：以 为直径的圆过定点 .

（1） ；（2）答案详见解析.

试题分析：（1）由已知，得 ，再根据离心率求 ，进而求 ，进而根据焦点位置求椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，得关于 的一元二次方程，由题意 ，列方程得 ，同时可求出切点坐标 ，再求 ，要证明以 为直径的圆过定点 ，只需证明 即可，利用数量积的坐标运算可证明，本题最关键的是要注意点在圆上这个条件的运用．
试题解析：（1）由已知 2分
，
椭圆 的方程为 ；4分
（2） ，消去 ，得 ，则 ，可得 ，设切点 ，则 ， ，故 ，又由 ，得 ， ， ，
，
以 为直径的圆过定点 ..14分