已知椭圆x22+y2＝1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴，求证直线AC经过线段EF的中点．

Question

已知椭圆(x2)/(2)+y2＝1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴，求证直线AC经过线段EF的中点．

Answer 1

证明：依设，得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F（1，0），
右准线方程为x=2，点E的坐标为（2，0），
EF的中点为N（(3)/(2)，0）（3分）
若AB垂直于x轴，
则A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
∴AC中点为N（(3)/(2)，0），
即AC过EF中点N．
若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，
且由BC∥x轴知点B不在x轴上，
故直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0．
记A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
则C（2，y₂）且x₁，
x₂满足二次方程(x2)/(2)+k2(x−1)2＝1
即（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
∴x₁+x₂=(4k2)/(1+2k2)，x1x2＝(2(k2−1))/(1+2k2)（10分）
又x²₁=2-2y²₁＜2，得x₁-(3)/(2)≠0，
故直线AN，CN的斜率分别为
k₁=(y1)/(x1−(3)/(2))＝(2k(x1−1))/(2x1−3)k2＝(y2)/(2−(3)/(2))＝2k(x2−1)
∴k₁-k₂=2k•((x1−1)−(x2−1)(2x1−3))/(2x1−3)
∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4
=(1)/(1+2k2)[12k2−4(k2−1)−4(1+2k2)]＝0
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂，故A、C、N三点共线．
所以，直线AC经过线段EF的中点N．（14分）