已知函数f（x）=ln（ax2+2x+1）．（I）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=ln（ax²+2x+1）．
（I）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）的定义域为R，则ax²+2x+1>0恒成立，…（1分）
若a=0时，2x+1>0，x>-(1)/(2)，不合题意； …（3分）
所以a≠0；
由

a>0

△=4-4a<0

得：a>1．…（6分）
（2）由f（x）的值域为R，所以{y|y=ax²+2x+1，x∈R}⊇（0，+∞），…（7分）
（也可以说y=ax²+2x+1取遍一切正数）
①若a=0时，y=2x+1可以取遍一切正数，符合题意，…（9分）
②若a≠0时，需

a>0

△=4-4a≥0

，即0<a≤1； …（12分）
综上，实数a的取值范围为[0，1]．…（13分）．