设fx在（-a,a）上可导,证明若fx是周期函数,则其导数也是周期函数且周期相同

Question

设fx在（-a,a）上可导,证明若fx是周期函数,则其导数也是周期函数且周期相同

Answer 1

∵f(x)为周期函数,不妨设t是它的其中任一个周期
∴f(x)=f(x+t)
∴[f(x)]=[f(x+t)]'
则由复合函数求导法则：
[f(x+t)]'=f'(x+t)·(x+t)'=f'(x+t)
∴f'(x)=f'(x+t)
得证.