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怎样求求y=cos3x+sinx的周期
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怎样求求y=cos3x+sinx的周期
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答案和解析
因为 cos3x 的最小正周期为 2π/3
sinx 的最小正周期为 2π
2π/3和2π二者分子的最小公倍数为 2π,二者分母的最大公约数为1 .
所以 2π 是函数 y = cos3x + sinx 的一个周期.
(这类题目有个公式,总周期 = 二者周期的分子最小公倍数/二者周期的分母最大公约数)
下面用反证法证明 2π 是最小正周期
假设 函数 f(x) = cos3x + sinx 还有比 2π 更小的正周期 T
即 0 < T < 2π (T为常数)
使得 f(x+T) = f(x) 对一切实数x都成立
即 cos[3(x+T)] + sin(x+T) = cos3x + sinx
取 x=0,得 cos3T + sinT = 1
取 x=π,得 -cos3T + sinT = -1
联立解得 sinT = 0 , cos3T = 1
由 sinT = 0 且 0 < T < 2π, 得 T = π
由 cos3T = 1 且 0 < 3T < 6π 得 3T = 2π, 4π, 即 T = 2π/3, 4π/3
故显然不可能同时成立.
这说明假设是错误的
所以 , 函数 f(x) = cos3x + sinx 没有比 2π 更小的正周期
于是 函数 f(x) = cos3x + sinx 最小正周期为 2π ,其图像如图所示.
sinx 的最小正周期为 2π
2π/3和2π二者分子的最小公倍数为 2π,二者分母的最大公约数为1 .
所以 2π 是函数 y = cos3x + sinx 的一个周期.
(这类题目有个公式,总周期 = 二者周期的分子最小公倍数/二者周期的分母最大公约数)
下面用反证法证明 2π 是最小正周期
假设 函数 f(x) = cos3x + sinx 还有比 2π 更小的正周期 T
即 0 < T < 2π (T为常数)
使得 f(x+T) = f(x) 对一切实数x都成立
即 cos[3(x+T)] + sin(x+T) = cos3x + sinx
取 x=0,得 cos3T + sinT = 1
取 x=π,得 -cos3T + sinT = -1
联立解得 sinT = 0 , cos3T = 1
由 sinT = 0 且 0 < T < 2π, 得 T = π
由 cos3T = 1 且 0 < 3T < 6π 得 3T = 2π, 4π, 即 T = 2π/3, 4π/3
故显然不可能同时成立.
这说明假设是错误的
所以 , 函数 f(x) = cos3x + sinx 没有比 2π 更小的正周期
于是 函数 f(x) = cos3x + sinx 最小正周期为 2π ,其图像如图所示.
![](https://www.zaojiaoba.cn/full/4aa638c2b6012686c4ddebde89d320bd7743ad1a.jpg)
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