怎样求求y=cos3x+sinx的周期

Question

怎样求求y=cos3x+sinx的周期

Answer 1

因为 cos3x 的最小正周期为 2π/3 
   sinx 的最小正周期为 2π 
2π/3和2π二者分子的最小公倍数为 2π,二者分母的最大公约数为1 . 
所以 2π 是函数 y = cos3x + sinx 的一个周期.
（这类题目有个公式,总周期 = 二者周期的分子最小公倍数/二者周期的分母最大公约数）
下面用反证法证明 2π 是最小正周期 
假设 函数 f(x) = cos3x + sinx 还有比 2π 更小的正周期 T 
即 0 < T < 2π （T为常数） 
使得 f(x+T) = f(x) 对一切实数x都成立 
即 cos[3(x+T)] + sin(x+T) = cos3x + sinx 
取 x=0,得 cos3T + sinT = 1 
取 x=π,得 -cos3T + sinT = -1 
联立解得 sinT = 0 , cos3T = 1 
由 sinT = 0 且 0 < T < 2π,  得 T = π 
由 cos3T = 1 且 0 < 3T < 6π  得 3T = 2π, 4π,  即 T = 2π/3, 4π/3 
故显然不可能同时成立.
 
这说明假设是错误的 
所以 , 函数 f(x) = cos3x + sinx 没有比 2π 更小的正周期 
于是  函数 f(x) = cos3x + sinx 最小正周期为 2π ,其图像如图所示.