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设{an}是公比为q的等比数列.(Ⅰ)试推导{an}的前n项和公式;(Ⅱ)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
题目详情
设{an}是公比为q的等比数列.
(Ⅰ)试推导{an}的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
(Ⅰ)试推导{an}的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
▼优质解答
答案和解析
(I)当q=1时,Sn=na1;
当q≠0,1时,由Sn=a1+a2+…+an,
得qSn=a1q+a2q+…+an-1q+anq.
两式错位相减得(1-q)Sn=a1+(a2-a1q)+…+(an-an-1q)-anq,(*)
由等比数列的定义可得
=
=…=
=q,
∴a2-a1q=a3-a2q=…=0.
∴(*)化为(1-q)Sn=a1-anq,
∴Sn=
=
=
.
∴Sn=
;
(Ⅱ)用反证法:设{an}是公比为q≠1的等比数列,数列{an+1}是等比数列.
①当存在n∈N*,使得an+1=0成立时,数列{an+1}不是等比数列.
②当∀n∈N*(n≥2),使得an+1≠0成立时,则
=
=
,
化为(qn-1-1)(q-1)=0,
∵q≠1,∴q-1≠0,qn-1-1≠0,故矛盾.
综上两种情况:假设不成立,故原结论成立.
当q≠0,1时,由Sn=a1+a2+…+an,
得qSn=a1q+a2q+…+an-1q+anq.
两式错位相减得(1-q)Sn=a1+(a2-a1q)+…+(an-an-1q)-anq,(*)
由等比数列的定义可得
a2 |
a1 |
a3 |
a2 |
an |
an-1 |
∴a2-a1q=a3-a2q=…=0.
∴(*)化为(1-q)Sn=a1-anq,
∴Sn=
a1-anq |
1-q |
a1-a1qn |
1-q |
a1(1-qn) |
1-q |
∴Sn=
|
(Ⅱ)用反证法:设{an}是公比为q≠1的等比数列,数列{an+1}是等比数列.
①当存在n∈N*,使得an+1=0成立时,数列{an+1}不是等比数列.
②当∀n∈N*(n≥2),使得an+1≠0成立时,则
an+1+1 |
an+1 |
a1qn+1 |
a1qn-1+1 |
a1q+1 |
a1+1 |
化为(qn-1-1)(q-1)=0,
∵q≠1,∴q-1≠0,qn-1-1≠0,故矛盾.
综上两种情况:假设不成立,故原结论成立.
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