设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，数列{bn}为等比数列，且a1=b1=2，S2=5b2，S4=25b3．（I）求数列{an}和{bn}的通项公式an及bn；（II）设数列{cn}满足cn=bnSn，问当n为何值时，cn取得最

Question

设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S_n为其前n项和，数列{b_n}为等比数列，且a₁=b₁=2，S₂=5b₂，S₄=25b₃．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式a_n及b_n；
（II）设数列{c_n}满足c_n=b_nS_n，问当n为何值时，c_n取得最大值？

Answer 1

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则S₂=2a₁+d=4+d，S₄=4a₁+6d=8+6d，b₂=b₁q=2q，b₃=2q²，
根据题意可得：S₂=5b₂，S₄=25b₃，即

4+d＝10q

8+6d＝50q2

，
解得：

q＝(4)/(5)

d＝4

或者

q＝(2)/(5)

d＝0

（舍去），
因为a₁=b₁=2，数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}为等比数列，
所以a_n=4n-2，b_n=2•((4)/(5))n−1．
（II）因为S_n是等差数列{a_n}的前n项和，
所以S_n=2n²，所以c_n=b_nS_n=4n²•((4)/(5))n−1．
假设C_n最大，因为C₁=4，C₂=(64)/(5)，所以C₁＜C₂，所以n≥2．
由C_n最大，可得：

Cn≥Cn+1

Cn≥Cn−1

，即

4n2((4)/(5))n−1≥4(n+1)2((4)/(5))n

4n2((4)/(5))n−1≥4(n−1)2((4)/(5))n−2

，
化简可得：

n2−8n−4≥0

n2−10n+5≤0

，
解得：4+√(20)≤n≤5+√(20)，
因为4＜√(20)＜5，
所以8＜n＜10，所以n=9，
即当n=9时，C₉最大．