已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m-1）a1；（2）若b3=ai（i

Question

已知{a _n }是等差数列，{b _n }是公比为q的等比数列，a ₁ =b ₁ ，a ₂ =b ₂ ≠a ₁ ，记S _n 为数列{b _n }的前n项和，
（1）若b _k =a _m （m，k是大于2的正整数），求证：S _k-1 =（m-1）a ₁ ；
（2）若b ₃ =a _i （i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{b _n }中每一项都是数列{a _n }中的项；
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b _n }中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。

Answer 1

设 的公差为d，由 ，知 ， （ ）
（1）因为
所以

所以 。
（2）
由
所以
解得 或
但
所以
因为i是正整数，
所以 是整数，即q是整数，
设数列 中任意一项为
设数列 中某一项 =
现在只要证明存在正整数m，使得 ，即在方程 m中有正整数解即可，
所以
若 ，则
那么
当 时，因为
只要考虑 的情况
因为
所以
因此q是正整数，
所以m是正整数，
因此数列 中任意一项为 与数列 的第 项相等，
从而结论成立。
（3）设数列 中有三项 成等差数列，则有

设
所以
令
则
∵
所以
所以

作业帮用户 2016-12-13

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