（2013•山东）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn且Tn+an+12n＝λ（λ为常数）．令cn=b2n（n∈N*）求数列{cn}的前n项和Rn．

Question

（2013•山东）设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n且Tn+(an+1)/(2n)＝λ（λ为常数）．令c_n=b_2n（n∈N^*）求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由a_2n=2a_n+1，取n=1，得a₂=2a₁+1，即a₁-d+1=0①
再由S₄=4S₂，得4a1+(4×3d)/(2)＝4(a1+a1+d)，即d=2a₁②
联立①、②得a₁=1，d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）把a_n=2n-1代入Tn+(an+1)/(2n)＝λ，得Tn+(2n)/(2n)＝λ，则Tn＝λ−(2n)/(2n)．
所以b₁=T₁=λ-1，
当n≥2时，bn＝Tn−Tn−1＝(λ−(2n)/(2n))−(λ−(2(n−1))/(2n−1))=(n−2)/(2n−1)．
所以bn＝(n−2)/(2n−1)，cn＝b2n＝(2n−2)/(22n−1)＝(n−1)/(4n−1)．
R_n=c₁+c₂+…+c_n=0+(1)/(41)+(2)/(42)+…+(n−1)/(4n−1)③
(1)/(4)Rn＝(1)/(42)+(2)/(43)+…+(n−1)/(4n)④
③-④得：(3)/(4)Rn＝(1)/(4)+

作业帮用户 2017-09-18

问题解析

（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把{a_n}的通项公式代入Tn+

1

(an+1)/(2n)＝λ，求出当n≥2时的通项公式，然后由c_n=b_2n得数列{c_n}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和．

名师点评

本题考点：

等差数列的通项公式；数列的求和．

考点点评：

本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题．

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