递推公式如何推导通项公式?

Question

递推公式如何推导通项公式?

Answer 1

1)
分数类的可以用.裂项求和
例题
1/1*2+1/2*3+1/3*14.1/n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+..+1/n-1/n+1
=n/n+1
只要是分式数列求和基本可以采用裂项法
裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数,通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数
2）
叠加法
1 3 6 10 15 .的通式是什么
a2-a1=2
a3-a2=3
a4-a3=4
a5-a4=5
3)
an=
a6-a5=6
..
an-a(n-1)=n
a2-a1+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)+..+(an-a(n-1))
=2+3+4+..+n
an-a1=(n+2)(n-1)/2
an=(n^2+n)/2
3）
公式法
Sn=an^2+bn
an=Sn-S(n-1)
例:
a1=3
Sn=n^2+2n
S(n-1)=(n-1)^2+2(n-1)
an=2n+1,
4)拼凑法
an=3a(n-1)+2
(an+1)=3(a(n-1)+1)
(an+1)/(a(n-1)+1)=3
an+1是个等比数列,
如:
an=(a(n-1)/(2a(n-1)+2)
1/an=(2a(n-1)+2)/a(n-1)
=2+2/a(n-1)
(1/an+2)=2(1/a(n-1)+2)
((1/an)+2)是等比数列