已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a＞0，以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，对于任意的n∈N+，均有Sn∈A，求a的取值范围．

Question

已知集合A={x|x ² +a≤（a+1）x，a∈R}．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＞0，以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S _n ，对于任意的n∈N ₊ ，均有S _n ∈A，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）A={x|x ² +a≤（a+1）x，a∈R}={x|（x-1）（x-a）≤0，a∈R}．
（1）a≥1时，A={x|1≤x≤a}；
（2）a＜1时，A={x|a≤x≤1}
（Ⅱ）（i）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．
而S ₂ =a+a ² ＞a，S ₂ ∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；

（ii）当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}， S n =(a(1- an ))/(1-a) ， S n -a=(a(1- an ))/(1-a) -a=(a2 - an+1)/(1-a) ≥0 ，∴S _n ≥a，
又a ⁿ ＞0，∴ S n ＜(a)/(1-a)
对任意的n∈N ₊ ，S _n ∈A，只须a满足

0＜a＜1

(a)/(1-a) ≤1

，解得 0＜a≤(1)/(2) ．
综上所述，a的取值范围是 0＜a≤(1)/(2) ．