双曲线M：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A、B外的一个动点，若QA⊥PA且QB⊥PB，则动点Q的运动轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

Question

双曲线M：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A、B外的一个动点，若QA⊥PA且QB⊥PB，则动点Q的运动轨迹为（　　）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线

Answer 1

设P（m，n），Q（x，y）
∵双曲线M：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）实轴的两个顶点为A，B，
∴A（-a，0），B（a，0）
∴

QA

=（-x-a，-y），

PA

=（-m-a，-n）
∵QA⊥PA，∴（-x-a）（-m-a）+ny=0，可得m+a=-(ny)/(x+a)…①
同理根据QB⊥PB，可得m-a=-(ny)/(x−a)…②
①×②，可得m²-a²=(n2y2)/(x2−a2)．…③
∵点P（m，n）为双曲线M上除A、B外的一个动点，
∴(m2)/(a2)−(n2)/(b2)＝1，整理得n²=(b2)/(a2)（m²-a²），
代入③化简得(x2)/(a2)−(y2)/((a4)/(b2))＝1．
故选：C．