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双曲线M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)实轴的两个顶点为A,B,点P为双曲线M上除A、B外的一个动点,若QA⊥PA且QB⊥PB,则动点Q的运动轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
题目详情
双曲线M:
-
=1(a>0,b>0)实轴的两个顶点为A,B,点P为双曲线M上除A、B外的一个动点,若QA⊥PA且QB⊥PB,则动点Q的运动轨迹为( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
▼优质解答
答案和解析
设P(m,n),Q(x,y)
∵双曲线M:
-
=1(a>0,b>0)实轴的两个顶点为A,B,
∴A(-a,0),B(a,0)
∴
=(-x-a,-y),
=(-m-a,-n)
∵QA⊥PA,∴(-x-a)(-m-a)+ny=0,可得m+a=-
…①
同理根据QB⊥PB,可得m-a=-
…②
①×②,可得m2-a2=
.…③
∵点P(m,n)为双曲线M上除A、B外的一个动点,
∴
−
=1,整理得n2=
(m2-a2),
代入③化简得
−
=1.
故选:C.
∵双曲线M:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∴A(-a,0),B(a,0)
∴
QA |
PA |
∵QA⊥PA,∴(-x-a)(-m-a)+ny=0,可得m+a=-
ny |
x+a |
同理根据QB⊥PB,可得m-a=-
ny |
x−a |
①×②,可得m2-a2=
n2y2 |
x2−a2 |
∵点P(m,n)为双曲线M上除A、B外的一个动点,
∴
m2 |
a2 |
n2 |
b2 |
b2 |
a2 |
代入③化简得
x2 |
a2 |
y2 | ||
|
故选:C.
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