等比数列{an}首项a1=2公比为q,且满足3a3是8a1与a5的等差中项,数列{bn}满足2n^2-（t+bn)n+3/2bn=0确定t值

Question

等比数列{an}首项a1=2公比为q,且满足3a3是8a1与a5的等差中项,数列{bn}满足2n^2-（t+bn)n+3/2bn=0确定t值

Answer 1

（1）因为6a3=8a1+a5,所以6q2=8+q4,
解得q2=4或q2=2（舍）,则q=2
又a2=2,所以an=2n
（2）由2n2-（t+bn）n+32bn=0,得bn=2n2-tnn-32,
所以b1=2t-4,b2=16-4t,b3=12-2t,
则由b1+b3=2b2,得t=3
而当t=3时,bn=2n,由bn+1-bn=2（常数）知此时数列{bn}为等差数列；
（3）因为c1=c2=c3=2,易知m=1不合题意,m=2适合题意
当m≥3时,若后添入的数2等于cm+1个,则一定不适合题意,
从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1,
则（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=2×2k+1,
即2×(2k-1)+(2+2k)k2×2=2×2k+1,即2k+1-2k2-2k+2=0．
也就是2k=k2+k-1,
易证k=1,2,3,4不是该方程的解,而当n≥5时,2n＞n2+n-1成立,证明如下：
1°当n=5时,25=32,k2+k-1=29,左边＞右边成立；
2°假设n=k时,2k＞k2+k-1成立,
当n=k+1时,2k+1＞2k2+2k-2=（k+1）2+（k+1）-1+k2-k-3
≥（k+1）2+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）2+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）2+（k+1）-1
这就是说,当n=k+1时,结论成立．
由1°,2°可知,2n＞n2+n-1（n≥5）时恒成立,故2k=k2+k-1无正整数解．
综上可知,满足题意的正整数仅有m=2．