设三角形abc的重心为g,求ga+gb+gc的值(以上字母为向量)

Question

设三角形abc的重心为g,求ga+gb+gc的值(以上字母为向量)

Answer 1

令向量AB=a,向量AC=b.
延长AG、BG、CG分别交BC、CA、AB于点E、F、D因为G为△ABC的重心所以
向量BC=向量(AC-AB)=b-a).
向量AE=向量(AB+1/2×BC)=(a+b)/2.
向量AG=2/3×向量AE=(a+b)
向量BF=向量(AF-AB)=(b-2a)/2
向量BG=2/3×向量BF=(b-2a)/3
向量CD=向量(CB+BD)=-向量(BC+DB)=(a-2b)/2.
向量CG=2/3×向量CD=(a-2b)/3.
向量AG+向量BG+向量CG=(a+b)/3+(b-2a)/3+(a-2b)/3=0,
即向量GA+向量GB+向量GC=0向量