在双曲线C：x2a2-y2b2=1中，过焦点垂直于实轴的弦长为233，焦点到一条渐近线的距离为1，（1）求该双曲线的方程；（2）若直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线C交于A、B两点（A、B不是左右顶点

Question

在双曲线C：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1中，过焦点垂直于实轴的弦长为(2√(3))/(3)，焦点到一条渐近线的距离为1，
（1）求该双曲线的方程；
（2）若直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线C交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点．求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（1）由题意，得(2b2)/(a)=(2√(3))/(3)，(bc)/(√(a2+b2))=1，
解得：a=√(3)，b=1，
∴所求双曲线方程为(x2)/(3)−y2＝1．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
联立直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线，得（1-3k²）x²-6kmx-3（m²+1）=0，
△＞0，化简，得m²+1-3k²＞0，
∴x₁+x₂=(6km)/(1−3k2)，x₁x₂=-(3(m2+1))/(1−3k2)，
∵以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M（√(3)，0），
∴

MA

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作业帮用户 2017-09-25

问题解析

（1）利用过焦点垂直于实轴的弦长为(2√(3))/(3)，焦点到一条渐近线的距离为1，建立方程，求出a，b，即可求该双曲线的方程；
（2）联立直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M（√(3)，0），即可证明直线L过定点，并求出该定点的坐标．

名师点评

本题考点：

双曲线的简单性质．

考点点评：

本题考查双曲线的性质与方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

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