定义：对于两个双曲线C1，C2，若C1的实轴是C2的虚轴，C1的虚轴是C2的实轴，则称C1，C2为共轭双曲线．现给出双曲线Γ1：y=x+1x和双曲线Γ2：y=x-1x，其离心率分别为e1，e2．（1）写出Γ1，Γ2的渐

Question

定义：对于两个双曲线C₁，C₂，若C₁的实轴是C₂的虚轴，C₁的虚轴是C₂的实轴，则称C₁，C₂为共轭双曲线．现给出双曲线Γ₁：y=x+(1)/(x)和双曲线Γ₂：y=x-(1)/(x)，其离心率分别为e₁，e₂．
（1）写出Γ₁，Γ₂的渐近线方程（不用证明）；
（2）试判断双曲线Γ₁：y=x+(1)/(x)和双曲线Γ₂：y=x-(1)/(x)是否为共轭双曲线？请加以证明．
（3）求值：(1)/(e12)+(1)/(e22)．

Answer 1

（1）Γ₁，Γ₂的渐近线方程分别为y=x和x=0；
（2）双曲线Γ₁：y=x+(1)/(x)和双曲线Γ₂：y=x-(1)/(x)是共轭双曲线，证明如下：
双曲线Γ₁：y=x+(1)/(x)的实轴所在的直线是y=x和x=0的角平分线所在直线为y=tan67.5°=（√(2)+1）x，
虚轴所在直线为y=tan157.5°x=（1-√(2)）x，
实轴和虚轴的交点到原点的距离的平方d²=a12=2+2√(2)，
∵(b1)/(a1)=tan22.5°=√(2)-1，∴b12=2√(2)-2，∴c12=4√(2)．
同理双曲线Γ₂：y=x-(1)/(x)的实轴、虚轴所在的直线y=（1-√(2)）x，y=（√(2)+1）x，
∴双曲线Γ₁：y=x+(1)/(x)和双曲线Γ₂：y=x-(1)/(x)是共轭双曲线
（3）由（2）知(1)/(e12)=(2+2√(2))/(4√(2))，(1)/(e22)=(2√(2)−2)/(4√(2))，
∴(1)/(e12)+(1)/(e22)=2，．