高考数学问题:过双曲线一焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A,B两点1,过双曲线一焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过双曲的一个顶点,则双曲线

Question

高考数学问题:过双曲线一焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A,B两点
1,过双曲线一焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过双曲的一个顶点,则双曲线的离心率是_____
2,将边长为6cm,8cm的矩形ABCD沿对角线折成60度的二面角后,过这四个顶点的球的表面积为__________
3,椭圆x^2/(a^2/2)+y^2/a^2=1与连结A(1,2),B(2,3)的直线没有公共点,则正数a的取值范围是________
最好解析一下

Answer 1

1
设圆心为O;
设双曲线方程为 x^2/a^2 - y^2/b^2=1; a^2+b^2=c^2; 离心率e=c/a;
由题意知:
该圆过点(c,±b√(e^2 -1) );
而且|a-c|=|y0|=|±b√(e^2 -1)|
→(a-c)^2=b^2·(e^2 -1);
→c^2 -2ac +a^2 = b^2·e^2 -b^2
→(c^2 +a^2 +b^2)=2ac +b^2·e^2
即 2c^2 =2ac +(c^2 -a^2)·e^2
两边同时除以a^2 得
2=2e +(e^2 -1)·e^2
e^4 -e^2 +2e -2 =0;
(e^4 -1) -(e-1)^2 =0;
(e^2 +1)(e+1)(e-1)-(e-1)^2 =0;
(e-1)[e^3+e^2+e+1-(e-1)]=0;
(e-1)(e^3+e^2+2)=0;
e>0,∴e^3+e^2+2＞0；
∴只能e=1.
离心率是1.
2
矩形的四个顶点到其中心(对角线交点)的距离相等;
则易知,无论折成什么角度,O到A,B,C,D四点的距离都是相等的;
等于半对角线长r=√(6^2 +8^2 )/2=5;
也就是说,过这四个顶点的球(即四面体的外接球)永远是以O为球心,以5为半径.
则球的表面积为
S=4π·r^2=100π.
3
将A,B两点的坐标代入式子
x^2/(a^2/2)+y^2/a^2 ,
使其都大于1,
得:
1^2/(a^2/2) + 2^2/a^2 ＞1→ a＜√6；
2^2/(a^2/2) + 3^2/a^2 ＞1→ a＜√17.
所以,a＜√17