概率题随机事件AB满足0≤P(A)＜10≤P(B)＜1P(A|B)＋P(∽概率题随机事件AB满足0≤P(A)＜10≤P(B)＜1P(A|B)＋P(∽A|∽B)＝1则AB相互独立

Question

概率题 随机事件A B满足0≤P(A)＜1 0≤P(B)＜1 P(A|B)＋ P(∽
概率题 随机事件A B满足0≤P(A)＜1 0≤P(B)＜1 P(A|B)＋ P(∽A|∽B)＝1 则A B相互独立

Answer 1

用符号A' 表示(非A).用符号B' 表示(非B).则P(A')=1-P(A),P(B')=1-P(B)
P(A'|B')=P(A'B')/P(B')
由P(B')= P(A'B')+P(AB')
得P(A'B')=P(B')-P(AB')=1-P(B)-P(A)+P(AB)
P(A|B)=P(AB)/P(B)
所以P(AB)/P(B)+(1-P(B)-P(A)+P(AB))/(1-P(B))=1
得P(AB)(1-P(B))+P(B)(1-P(B)-P(A)+P(AB))=P(B)(1-P(B))
得P(AB)-P(AB)P(B)+P(B)-P(B)²-P(B)P(A)+P(B)P(AB)=P(B)-P(B)²
得P(AB)-P(B)P(A)=0
得P(AB)=P(A)P(B)
所以A,B两事件独立.
所有步骤都可以反着写回去,所以P(A|B)+ P(A'|B')=1 是 A,B 相互独立的充分必要条件.