如图1所示，在边长为1的正方形ABCD中，P是BC边上一动点，AP的延长线与∠ABC的外角平分线交于E，∠EAF=45°，且AF交∠ADC的外角平分线交于F，把△ADF绕A旋转至△ABQ．（Ⅰ）如图1所示，当BE=DF时

Question

如图1所示，在边长为1的正方形ABCD中，P是BC边上一动点，AP的延长线与∠ABC的外角平分线交于E，∠EAF=45°，且AF交∠ADC的外角平分线交于F，把△ADF绕A旋转至△ABQ．
（Ⅰ）如图1所示，当BE=DF时，求BQ的长；
（Ⅱ）如图2所示．
（1）请探究线段BE，DF，EF之间的数量关系，并证明．
（2）当点P在BC边上运动时，记BP=x（0<x<1），S_△BEQ=y，探究y是否随着x的变化而变化，若不变化，求出y的值，若变化，求出y与x的函数关系式．

Answer 1

（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=1，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°．
∵BE、DF分别是正方形ABCD的外角平分线，
∴∠EBC=∠CDF=45°．
∴∠ABE=∠ADF=135°．
在△ABE和△ADF中，由于

AB=AD

∠ABE=∠ADF

BE=DF

，
∴△ADF≌△ABE．
∴∠BAE=∠DAF
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF=(1)/(2)（90°-45°）=22.5°．
∵∠ADF=135°，
∴∠AFD=22.5°，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AB=DF=1．
∵△ADF绕A旋转至△ABQ，
∴△ADF≌△ABQ，
∴BQ=DF=1．
（Ⅱ）（1）BE²+DF²=EF²．
证明：∵△ADF≌△ABQ，
∴BQ=DF，AQ=AF，∠QAB=∠DAF=22.5°，∠ADF=∠ABQ=135°，
又∵∠ABE=135°，
∴∠QBE=360°-∠ABQ-∠ABE=90°，
在RT△BQE中，BE²+BQ²=QE²．即BE²+DF²=QE²．
∵∠QAB=∠BAE=∠DAF=22.5°，
∴∠QAE=45°
∴∠QAE=∠EAF．
在△QAE和△FAE中，由于

AQ=AF

∠QAE=∠EAF

AE=AE

，
∴△QAE≌△FAE，
∴QE=EF．
∴BE²+DF²=EF²．
（2）当点P在BC边上运动时，
∵∠ADF=∠ABE=135°，
∴∠BAE+∠BEA=45°，
又∵∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠DAF=∠AEB．
∴△ABE∽△FDA．

由于△ADF≌△ABQ，
∴△ABE∽△QBA．
∴(BQ)/(AB)=(AB)/(BE)
即BQ×BE=1．
∵△BQE为直角三角形，
∴y=S_△QBE=(1)/(2)×BQ×BE=(1)/(2)．
所以y不随x（0<x<1）的变化而变化，恒等于(1)/(2)．