如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°，（1）求证：PA＝PB；（2）求证：AC-BC=2PC．

Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°，
（1）求证：

PA

＝

PB

；
（2）求证：AC-BC=√(2)PC．

Answer 1

证明：（1）连结PA、PB，如图，
∵弦CP平分△ABC的外角∠ACQ，∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB=45°，
∴

PA

＝

PB

；
（2）作PD⊥PC交AC于D点，如图，
则△PDC为等腰直角三角形，
∴DC=√(2)PC，
∵

PA

=

PB

，
∴PA=PB，
∵∠PDC=45°，
∴∠PDA=135°，
而∠PCB=∠PCA+∠ACB=135°，
∴∠PDC=∠PCB，
∵∠PAD=∠PBC，
∴△PDA≌△PCB，
∴AD=BC，
∴AC-BC=AC-AD=DC=√(2)PC．