如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终

Question

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A、D₁、D₂、B始终在同一直线上），当点A与点B重合时，停止平移．设平移的速度是1cm/秒，平移的时间为x（秒），△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y（cm²）．
（1）求CD的长和斜边上的高CH；
（2）在平移过程中（如图3），设C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．那么四边形FD₂D₁E是否可能是菱形？为什么？如果可能，请求出相应的D₁E=D₂F的值；
（3）请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（4）是否存在这样的x的值，使重叠部分面积为3cm²？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴在直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AB=10．
∵D是AB的中点，
∴CD=(1)/(2)AB=5．
∵(1)/(2)AC•BC=(1)/(2)AB•CH，
∴(1)/(2)×6×8=(1)/(2)×10CH，
∴CH=4.8；

（2）可能，当D₂F=D₂D₁时，四边形FD₂D₁E是菱形．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F，同理：BD₁=D₁E，
∴AD₂=BD₁，
∴D₁E=D₂F，
∵D₁E∥D₂F，
∴四边形FD₂D₁E是平行四边形．
∵D₂F=D₂D₁，
∴平行四边形FD₂D₁E是菱形．
∵AD₂=x，
∴D₂D₁=5-x，
∴x=5-x，
∴x=2.5，
∴D₁E=D₂F=2.5；

（3）如图3，当0≤x≤5时，
∵D₂D₁=x
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，
∴C₂F=C₁E=x．
∵在△ABC中，sin∠CDB=(CH)/(CD)＝(24)/(25)，
∴sin∠ED₁B=(24)/(25)．
设△BED₁的BD₁边上的高为h，
∴h=(24(5−x))/(25)，
∴S_△BD1E=(1)/(2)×BD₁×h=(12)/(25)(5−x)2．
∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90°．
∵∠C₂=∠B，
∴sin∠B=(4)/(5)，cos∠B=(3)/(5)，
∴PC₂=(3)/(5)x，PF=(4)/(5)x，
∴S_△FC2P=(1)/(2)PC2×PF=(6)/(25)x²．
∴y=S_△D2C2B-S_△BD1E-(1)/(2)S_△ABC-(12)/(25)(5−x)2-=(6)/(25)x²，
∴y=-(18)/(25)x²+(24)/(5)x；
如图4，当5＜x≤10时，
∵D₂D₁=x，BD₂=AD₁=5，
∴BD₁=x-5，
∴AB=5-（x-5）=10-x．
∵sin∠PBA=(PA)/(AB)=(4)/(5)，cos∠PBA=(PB)/(AB)=(3)/(5)，
∴PA=(4)/(5)(10−x)，PB=(3)/(5)（10-x），
∴y=(1)/(2)×PA×PB=(1)/(2)×(4)/(5)(10−x)×(3)/(5)（10-x），
y=(6)/(25)（10-x）²．
综上可得：y=

−(18)/(25)x2+(4)/(25)x(0≤x≤5)

(6)/(25)(10−x)2(5＜x≤10)

（4）当0≤x≤5时，
-(18)/(25)x²+(24)/(5)x=3，
解得：x₁=(20+5√(10))/(6)＞5（舍去），x₂=(20−5√(10))/(6)；
当5＜x≤10时，
(6)/(25)（10-x）²=3，
解得：x₁=10+(5√(2))/(2)＞10（舍去），x₂=10-(5√(2))/(2)；
∴当x=(20−5√(10))/(6)或x=10-(5√(2))/(2)时，重叠部分的面积等于3．