直线y=-x+2与X轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB．（1）求AC的解析式；（2）若在OA的延长线上取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q，试探究BP与PQ的数最关系；并证明你的结论；（3）

Question

直线y=-x+2与X轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB．

（1）求AC的解析式；
（2）若在OA的延长线上取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q，试探究BP与PQ的数最关系；并证明你的结论；
（3）在（2）的前提下，作PM⊥QC于M，求证：(MQ-AC)/(PM)的值是定值，并求出这一定值．

Answer 1

（1）在y=-x+2中，令y=0可求得x=2，令x=0可求得y=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∵OC=OB，
∴点C坐标（0，-2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把B、C两点坐标代入可得

b=-2

2k+b=0

，解得

k=1

b=-2

，
∴直线AC的解析式为y=x-2；
（2）如图1中，结论：PB=PQ．

证明如下
：连接BQ，AQ与PB交于点G．
∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠CAB=∠BAQ=90°，
∵PB⊥PQ，
∴∠BAG=∠QPG=90°，
∵∠AGB=∠PGQ，
∴△ABG∽△PQG，
∴(BG)/(GQ)=(AG)/(PG)，
∴(BG)/(AG)=(GQ)/(PG)，
∵∠BGQ=∠AGP，
∴△BGQ∽△AGP，
∴∠QBG=∠GAP，
∵∠OAC=∠PAG=45°，
∴∠PBQ=∠PAG=45°，
∵∠BPQ=90°，
∴∠PBQ=∠PQB=45°，
∴PB=PQ；
（3）证明：
如图2，作PG⊥PA交PA的延长线于G．

由（2）可知，∠PAM=∠PAG=45°，
∵PM⊥AQ，PG⊥AG，
∴PM=PG，
∵∠G=∠GAM=∠PMA=90°，
∴四边形AMPG是矩形，
∵PM=PG，
∴四边形AMPG是正方形，
∴AG=PM，
在△PMQ和△PGB中，

∠Q=∠PBG

∠PMQ=∠G

PM=PG

，
∴△PMQ≌△PGB（AAS），
∴MQ=BG，
∵AB=AC，
∴(MQ-AC)/(PM)=(BG-AB)/(PM)=(AG)/(PM)=1．