正整数x,y,p满足方程：x^2+y^2=p(xy-1),求证p=5

Question

正整数x,y,p满足方程：x^2+y^2=p(xy-1),求证p=5

Answer 1

用“无穷递降法”
将原式看成关于y的二次方程：y^2-pxy+x^2+p=0
由韦达定理,如果(y,x)是原方程一组解,那么(px-y,x)也是原方程的解
这里为方便用反证法推出矛盾,不妨设x是原方程解中最小的一个,与x配对的最小解是y,并设用韦达定理由y导出的另一个解是y',则有y+y'=px,yy'=x^2+p.
若p太小的话,由韦达定理第二个式子知道容易推出y‘是比x更小的解,而p太大的话,y+y'和yy'之间的不等关系可能无法满足,由此可以夹出p的范围,具体如下：
yy'>=px-1（和一定时最小值取边值）,所以x^2+p>=px-1
推出p(x-1)-x^2-1