双曲线焦半径推导大哥大姐们,求双曲线的4个公式的详细推导过程,各是怎么推导的?4个公式分别说是双曲线的焦半径的4个公式

Question

双曲线焦半径推导
大哥大姐们,求 双曲线的4个公式的详细推导过程,各是怎么推导的?4个公式 分别说
是 双曲线的焦半径的4个公式

Answer 1

当双曲线的方程为x²/a²-y²/b²=1,左右焦点F1,F2分别为F1(-C,0),F2(C,0),
设双曲线上任一点P(x0,y0),则y0²=b²/a²*x0²-b²
PF1²=(x0+c)²+y0²=(x0+c)²+b²/a²*x0²-b²
=(1+b²/a²)x²+2cx0+c²-b²=c²/a²*x²+2cx0+a²=e²x0²+2aex0+a²
=(ex0+a)²
PF1=|ex0+a|
PF2²=(x0-c)²+y0²=(x0-c)²+b²/a²*x0²-b²=(1+b²/a²)x²-2cx0+c²-b²=c²/a²*x²-2cx0+a²=e²x0²-2aex0+a²
=(ex0-a)²
PF2=|ex0-a|
当点P在左支上时,PF1=-(ex0+a),PF2=a-ex0
当点P在右支上时,PF1=ex0+a,PF2=ex0-a
当双曲线的方程为y²/a²-x²/b²=1,上下焦点F1,F2分别为F1(0,-c),F2(0,c),
设双曲线上任一点P(x0,y0),则x0²=b²/a²*y0²-b²
PF1²=x0²+(y0+c)²=b²/a²*y0²-b²+(y0+c)²
=(1+b²/a²)y0²+2cy0+c²-b²=c²/a²*y0²+2cy0+a²=e²y0²+2aey0+a²
=(ey0+a)²
PF1=|ey0+a|
PF2²=x0²+(y0-c)²=b²/a²*y0²-b²+(y0-c)²
=(1+b²/a²)y0²-2cy0+c²-b²=c²/a²*y0²-2cy0+a²=e²y0²-2aey0+a²
=(ey0-a)²
PF2=|ey0-a|
当点P在下支上时,PF1=-(ey0+a),PF2=a-ey0
当点P在上支上时,PF1=ey0+a,PF2=ey0-a