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求曲线y=1x+ln(1+ex)所有的渐近线.
题目详情
求曲线y=
+ln(1+ex)所有的渐近线.
1 |
x |
▼优质解答
答案和解析
因为
=∞,
ln(1+ex)=ln2≠0,
所以
y(x)=
(
+ln(1+ex))=∞,
故x=0为曲线y(x)的一条垂直渐近线.
因为
y(x)=
+
ln(1+ex)=0+ln1=0,
从而,当x→-∞时,y=0 为曲线y(x)的一条水平渐近线.
因为
=
=1,
所以
=
+
=0+1=1.
又因为
(ln(1+ex)−x)=
ln
=ln 1=0,
所以
(y(x)−x)=
+
(ln(1+ex)−x)=0+0=0.
从而,当x→+∞时,y=x 为曲线y(x)的一条斜渐近线.
综上,曲线y(x)的共有三条渐近线:
(1)垂直渐近线:x=0;
(2)水平渐近线:当x→-∞时,曲线y(x)存在水平渐近线y=0;
(3)斜渐近线:当x→+∞时,曲线y(x)存在斜渐近线y=x.
lim |
x→0 |
1 |
x |
lim |
x→0 |
所以
lim |
x→0 |
lim |
x→0 |
1 |
x |
故x=0为曲线y(x)的一条垂直渐近线.
因为
lim |
x→−∞ |
lim |
x→−∞ |
1 |
x |
lim |
x→−∞ |
从而,当x→-∞时,y=0 为曲线y(x)的一条水平渐近线.
因为
lim |
x→+∞ |
ln(1+ex) |
x |
lim |
x→+∞ |
ex |
1+ex |
所以
lim |
x→+∞ |
y(x) |
x |
lim |
x→+∞ |
1 |
x2 |
lim |
x→+∞ |
ln(1+ex) |
x |
又因为
lim |
x→+∞ |
lim |
x→+∞ |
1+ex |
ex |
所以
lim |
x→+∞ |
lim |
x→+∞ |
1 |
x |
lim |
x→+∞ |
从而,当x→+∞时,y=x 为曲线y(x)的一条斜渐近线.
综上,曲线y(x)的共有三条渐近线:
(1)垂直渐近线:x=0;
(2)水平渐近线:当x→-∞时,曲线y(x)存在水平渐近线y=0;
(3)斜渐近线:当x→+∞时,曲线y(x)存在斜渐近线y=x.
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