求曲线y=1x+ln（1+ex）所有的渐近线．

Question

求曲线y=(1)/(x)+ln（1+e^x）所有的渐近线．

Answer 1

因为

lim

x→0

(1)/(x)=∞，

lim

x→0

 ln(1+ex)=ln2≠0，
所以

lim

x→0

y(x)=

lim

x→0

((1)/(x)+ln(1+ex))=∞，
故x=0为曲线y（x）的一条垂直渐近线．
因为

lim

x→−∞

y(x)=

lim

x→−∞

(1)/(x)+

lim

x→−∞

ln(1+ex)=0+ln1=0，
从而，当x→-∞时，y=0 为曲线y（x）的一条水平渐近线．
因为

lim

x→+∞

(ln(1+ex))/(x)=

lim

x→+∞

(ex)/(1+ex)=1，
所以

lim

x→+∞

(y(x))/(x)=

lim

x→+∞

(1)/(x2)+

lim

x→+∞

(ln(1+ex))/(x)=0+1=1．
又因为

lim

x→+∞

(ln(1+ex)−x)=

lim

x→+∞

ln(1+ex)/(ex)=ln 1=0，
所以

lim

x→+∞

(y(x)−x)=

lim

x→+∞

(1)/(x)+

lim

x→+∞

(ln(1+ex)−x)=0+0=0．
从而，当x→+∞时，y=x 为曲线y（x）的一条斜渐近线．
综上，曲线y（x）的共有三条渐近线：
（1）垂直渐近线：x=0；
（2）水平渐近线：当x→-∞时，曲线y（x）存在水平渐近线y=0；
（3）斜渐近线：当x→+∞时，曲线y（x）存在斜渐近线y=x．