双曲线-渐近线题目F1、F2分别为双曲线x2/a2-y2/b2=1（a>0,b>0)的左右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,满足MF1=3MF2,则此双曲线的渐近线方程为?主要是不知道第一步怎么入手

Question

双曲线-渐近线题目
F1、F2分别为双曲线x2/a2-y2/b2=1（a>0,b>0)的左右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,满足MF1=3MF2,则此双曲线的渐近线方程为?
主要是不知道第一步怎么入手

Answer 1

设过F2(c,0)向渐进线y=b/ax作垂线,则有:MF2=|bc/a|/根号(b^2/a^2+1)=(bc/a)/(c/a)=b
那么有MF1=3b.
MF2的斜率K=-a/b,则MF2的方程是y=-a/b(x-c)
与y=b/ax联立解得M坐标是:
X=a^2/c,y=b/a*a^2/c=ab/c
所以,MF1^2=(a^2/c+c)^2+(ab/c)^2=9b^2
a^4/c^2+2a^2+c^2+a^2b^2/c^2=9b^2
a^4+2a^2c^2+c^4+a^2b^2-9b^2c^2=0
c^2=a^2+b^2代入得:
a^4+2a^4+2a^2b^2+a^4+2a^2b^2+b^4+a^2b^2-9a^2b^2-9b^4=0
4a^4-4a^2b^2-8b^4=0
a^4-a^2b^2-2b^2=0
(a^2-2b^2)(a^2+b^2)=0
即有:a^2-2b^2=0
所以有:a^2=2b^2
b^2/a^2=1/2
b/a=根号2/2
所以,渐进线的方程是y=(+/-)b/ax=(+/-)根号2/2 X