一道高中不等式证明题设a,b,c∈R求证a²+ac+c²+3b(a+b+c)≥0

Question

一道高中不等式证明题
设a,b,c∈R
求证a²+ac+c²+3b(a+b+c)≥0

Answer 1

将所证式看成关于a的代数式,即令函数
f(a)=a^2+ac+c^2+3b(a+b+c)=a^2+(3b+c)a+3b^2+3bc+c^2.
要证f(a)关于任何实数a都不小于0,只需证明其判别式 delta<=0,这里将b,c看成参数,b,c为任意实数.因为判别式
delta=(3b+c)^2-4(3b^2+3bc+c^2)=-3b^2-6bc-3c^2=-3(b+c)^2<=0 恒成立,
所以关于a的函数最小值为0,且最小值当且仅当 b+c=0 时取到,此时有
a^2+(3b+c)a+3b^2+3bc+c^2=a^2+ac+c^2-3ac=(a-c)^2>=0, 因此原不等式成立.