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如图所示,平面四边形PABC中,∠PAB为直角,△ABC为等边三角形,现把△PAB沿着AB折起,使得△APB与△ABC垂直,且点M为AB的中点.(1)求证:平面PAB⊥平面PCM(2)若2PA=AB,求直线BC与平面PMC所
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如图所示,平面四边形PABC中,∠PAB为直角,△ABC为等边三角形,现把△PAB沿着AB折起,使得△APB与△ABC垂直,且点M为AB的中点.
(1)求证:平面PAB⊥平面PCM
(2)若2PA=AB,求直线BC与平面PMC所成角的余弦值.
(1)求证:平面PAB⊥平面PCM
(2)若2PA=AB,求直线BC与平面PMC所成角的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△APB⊥△ABC且交线为AB
又∵∠PAB为直角,所以AP⊥平面ABC,
故AP⊥CM,
又∵△ABC为等边三角形,点M为AB的中点,
所以CM⊥AB,又∵PA∩AB=A
所以CM⊥平面PAB,又CM⊂△ABC
所以平面PAB⊥平面PCM;
(2)假设PA=a,则AB=2a,再设B到平面PMC的距离为hB.
则VP-MBC=VB-PMC=
PA•SMBC=
hB•SPMC
在直角三角形PAM中,由PA=AM=a,得PM=
a,
在等边三角形ABC中,AB边上的高CM=
a,
而三角形PMC为直角三角形,
故面积为S△PMC=
CM•PM=
•
a•
a=
a2.
又S△MBC=
S△ABC=
a2.
∴a•
又∵∠PAB为直角,所以AP⊥平面ABC,
故AP⊥CM,
又∵△ABC为等边三角形,点M为AB的中点,
所以CM⊥AB,又∵PA∩AB=A
所以CM⊥平面PAB,又CM⊂△ABC
所以平面PAB⊥平面PCM;
(2)假设PA=a,则AB=2a,再设B到平面PMC的距离为hB.
则VP-MBC=VB-PMC=
1 |
3 |
1 |
3 |
在直角三角形PAM中,由PA=AM=a,得PM=
2 |
在等边三角形ABC中,AB边上的高CM=
3 |
而三角形PMC为直角三角形,
故面积为S△PMC=
1 |
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2 |
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2 |
又S△MBC=
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2 |
∴a•
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