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在三角形ABC中,角A.B.C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0求角B的大小,若a+c=1,求b的取值范围
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在三角形ABC中,角A.B.C所对的边分别为a,b,c,已知 cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0 求角B的大小,若a+c=1,求b的取值范围
▼优质解答
答案和解析
∵cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0,
∴-cos(A+B)+cosAcosB-√3sinAcosB=0,
∴-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB-√3sinAcosB=0,
∴sinA(sinB-√3cosB)=0,∴sinB-√3cosB=0,∴tanB=√3,∴B=60°.
由余弦定理,有:
b^2=a^2+c^2-2accosB=(a+c)^2-3ac.······①
显然有:a+c≧2√(ac),∴(a+c)^2≧4ac,∴(3/4)(a+c)^2≧3ac.······②
①+②,得:b^2+(3/4)(a+c)^2≧(a+c)^2,∴b^2≧(1/4)(a+c)^2=1/4,
∴b≧1/2.
显然有:b<a+c=1,∴1/2≦b<1.
∴满足的条件的b的取值范围是[1/2,1).
∴-cos(A+B)+cosAcosB-√3sinAcosB=0,
∴-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB-√3sinAcosB=0,
∴sinA(sinB-√3cosB)=0,∴sinB-√3cosB=0,∴tanB=√3,∴B=60°.
由余弦定理,有:
b^2=a^2+c^2-2accosB=(a+c)^2-3ac.······①
显然有:a+c≧2√(ac),∴(a+c)^2≧4ac,∴(3/4)(a+c)^2≧3ac.······②
①+②,得:b^2+(3/4)(a+c)^2≧(a+c)^2,∴b^2≧(1/4)(a+c)^2=1/4,
∴b≧1/2.
显然有:b<a+c=1,∴1/2≦b<1.
∴满足的条件的b的取值范围是[1/2,1).
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