早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

△ABC是边长为4的等边三角形,在射线AB和BC上分别有动点P、Q,且AP=CQ,连接PQ交直线AC于点D,作PE⊥AC,垂足为E.(1)如图,当点P在边AB(与点A、B不重合)上,问:①线段PD与线段DQ之间有

题目详情
△ABC是边长为4的等边三角形,在射线AB和BC上分别有动点P、Q,且AP=CQ,连接PQ交直线AC于点D,作PE⊥AC,垂足为E.
(1)如图,当点P在边AB(与点A、B不重合)上,问:
①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系?试证明你的结论.
②随着点P、Q的移动,线段DE的长能否确定?若能,求出DE的长;若不能,简要说明理由;
(2)当点P在射线AB上,若设AP=x,CD=y,求:
①y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x为何值时,△PCQ的面积与△ABC的面积相等.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:①作PG∥BC交AC于G,DH∥AB交BQ于H,
∵△ABC是边长为4的等边三角形,
∴△DHC,△APG为等边三角形,
∵AP=CQ,
∴PG=CQ,∠PGC=∠DCQ=120°,
∵∠GPD=∠Q,
∵△PDG≌△QDC,
∴DP=DQ,
②能确定,
∵PE⊥AC,
∴AE=EG,
∵GD=DC,AB=BC=AC=4,
∴GD+EG+AE+DC=4,
∵2(GD+EG)=4,
即DE=2;

(2)①∵PD=DQ,DH∥AB,AP=x,CD=y,
∴DH=
1
2
BP,
∵AB=4,
∴BP=4-x或BP=x-4,
∴y=
1
2
(4-x)=2-
1
2
x(0<x≤4)或y=
1
2
x-2(x>4),
②当0<x≤4时,无解,
当x>4时,
∵PE⊥AC,∠A=60°AP=x,
∴PE=sin60°×x=
3
2
x,
∵AB=BC=AC=4,
∴S△ABC=4
3

∵PD=DQ,
∴结合图形可知S△PCQ=2S△PDC=2×
y•PE
2

∴2×
y•PE
2
=4
3

∴(
1
2
x-2)×
3
2
x=4
3

化简得:x2-4x-16=0,
解得:x1=2-2
作业帮用户 2016-11-23
问题解析
(1)①作PG∥BC交AC于G,DH∥AB交BQ于H,推出△DHC,△APG为等边三角形根据三角形全等,求出DP=DQ;②根据AE=EG,GD=DC,即可算出DE=
1
2
AC;
(2)分为两种情况来考虑,当P点在线段AB上或在射线AB上,根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找到相等关系,经过等量转换即可求出答案;
(3)分两种情况进行分析,当0<x≤4时,无解;当x>4时,结合图形找相等面积的三角形,求出PE的长度,用含x的代数式表示出△PCQ的面积,即可根据题意得出关于x的一元二次方程,解方程,得x的值.
名师点评
本题考点:
等边三角形的性质;根据实际问题列一次函数关系式;平行四边形的判定与性质.
考点点评:
本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、根据实际问题列一次函数关系式等,本题关键在于作出辅助线,找出等量关系
我是二维码 扫描下载二维码