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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E.又点F在DE的延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF是菱形.
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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E.又点F在DE的
延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF是菱形.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/83025aafa40f4bfb26c2b9e6004f78f0f7361875.jpg)
▼优质解答
答案和解析
证明:∵∠ACB=90°,DE是BC的中垂线,
∴DE⊥BC,
又∵AC⊥BC,
∴DE∥AC,
又∵D为BC中点,DF∥AC,
∴DE是△ABC的中位线,
∴E为AB边的中点,
∴CE=AE=BE,
∵∠BAC=60°,
∴△ACE为正三角形,
∵∠AEF=∠DEB=∠CAB=60°,
而AF=CE,又CE=AE,
∴AE=AF,
∴△AEF也为正三角形,
∴∠CAE=∠AEF=60°,
∴AC
EF,
∴四边形ACEF为平行四边形,
又∵CE=AC,
∴▭ACEF为菱形.
∴DE⊥BC,
又∵AC⊥BC,
∴DE∥AC,
又∵D为BC中点,DF∥AC,
∴DE是△ABC的中位线,
∴E为AB边的中点,
∴CE=AE=BE,
∵∠BAC=60°,
∴△ACE为正三角形,
∵∠AEF=∠DEB=∠CAB=60°,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/83025aafa40f4bfb26c2b9e6004f78f0f7361875.jpg)
∴AE=AF,
∴△AEF也为正三角形,
∴∠CAE=∠AEF=60°,
∴AC
∥ |
. |
∴四边形ACEF为平行四边形,
又∵CE=AC,
∴▭ACEF为菱形.
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