快来如图,在三角形ABC中,角B=90度,点D在AC上,AD=AB=BC,DE垂直AC,垂足为D,求证BE=DC

Question

快来
如图,在三角形ABC中,角B=90度,点D在AC上,AD=AB=BC,DE垂直AC,垂足为D,求证BE=DC

Answer 1

证：
∵Rt△ABC中,∠CBA=90°
∴∠A+∠C=90°（直角三角形两锐角互余）
∵AB=BC
∴∠A=∠C（等边对等角）
∴2∠A=90°
∴∠A=∠C=45°
∵DE⊥AC
∴Rt△DEC中,∠EDC=90°（垂直的意义）
∴∠C+∠CED=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠CED=90°-∠C=45°
∴∠C=∠CED（等量代换）
∴CD=DE（等角对等边）
∵AD=AB
∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）
∵ED⊥AC
∴∠ADE=90°（垂直的意义）
∵∠ABE=90°
∴∠ADE=∠ABE（等量代换）
∴∠ADE-∠ADB=∠ABE-∠ABD（等式性质）
∴∠EBD=∠EDB
∴BE=ED（等角对等边）
∴BE=DC（等量代换）