如图，已知四边形ABCD为正方形，四边形ABEF，四边形DCEF为菱形，且∠AFE=π3，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：BC⊥平面MEF；（Ⅱ）求直线DE与平面MEF所成角的大小．

Question

如图，已知四边形ABCD为正方形，四边形ABEF，四边形DCEF为菱形，且∠AFE=(π)/(3)，M为BC的中点．

（Ⅰ）证明：BC⊥平面MEF；
（Ⅱ）求直线DE与平面MEF所成角的大小．

Answer 1

证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形ABEF，四边形DCEF为菱形，
∴AB∥EF，AB⊥BC，BE=EF=CE，
∴BC⊥EF，BC⊥EM，
又EF⊂平面MEF，EM⊂平面MEF，EF∩EM=E，
∴BC⊥平面MEF．
（II）取DA的中点N，连接MN，NF，
则MN∥AB∥EF，
∴点N∈平面MEF，
∵BC⊥平面MEF，BC∥AD，
∴AD⊥平面MEF，
∴∠DEN为直线DE与平面MEF所成角．
设正方形ABCD的边长AB=1，
∵∠AFE=(π)/(3)，四边形ABEF是菱形，
∴AE=EF=AB=1，
又AN=DN=(1)/(2)AD=(1)/(2)AB=(1)/(2)，
∴EN=√(AE2-AN2)=(√(3))/(2)，
∴tan∠DEN=(DN)/(EN)=(√(3))/(3)，∴∠DEN=(π)/(6)．
∴直线DE与平面MEF所成角为(π)/(6)．