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如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,∠APB=60°,连接PO并延长与⊙O交于C点,连接AC,BC.(1)求证:四边形ACBP是菱形;(2)若⊙O半径为1,求菱形ACBP的面积.
题目详情
如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,∠APB=60°,连接PO并延长与⊙O交于C点,连接AC,BC.
(1)求证:四边形ACBP是菱形;
(2)若⊙O半径为1,求菱形ACBP的面积.
(1)求证:四边形ACBP是菱形;
(2)若⊙O半径为1,求菱形ACBP的面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接AO,BO,
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,∠APO=∠BPO=
∠APB=30°,
∴∠AOP=60°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠AOP=∠CAO+∠ACO,
∴∠ACO=30°,
∴∠ACO=∠APO,
∴AC=AP,
同理BC=PB,
∴AC=BC=BP=AP,
∴四边形ACBP是菱形;
(2)连接AB交PC于D,
∴AD⊥PC,
∴OA=1,∠AOP=60°,
∴AD=
OA=
,
∴PD=
,
∴PC=3,AB=
,
∴菱形ACBP的面积=
AB•PC=
.
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,∠APO=∠BPO=
1 |
2 |
∴∠AOP=60°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠AOP=∠CAO+∠ACO,
∴∠ACO=30°,
∴∠ACO=∠APO,
∴AC=AP,
同理BC=PB,
∴AC=BC=BP=AP,
∴四边形ACBP是菱形;
(2)连接AB交PC于D,
∴AD⊥PC,
∴OA=1,∠AOP=60°,
∴AD=
| ||
2 |
| ||
2 |
∴PD=
3 |
2 |
∴PC=3,AB=
3 |
∴菱形ACBP的面积=
1 |
2 |
3
| ||
2 |
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