如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．（1）求证：四边形BDCF为菱形；（2）若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC=2

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．

（1）求证：四边形BDCF为菱形；
（2）若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC=(2)/(3)，求CF的长．

Answer 1

（1）证明：DE⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠BED=∠ACB，
∴DF∥AC，
∵CF∥AB，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∵BD∥CF，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴DC=BD，
∴四边形BDCF是菱形；

（2） ∵tan∠EAC=(CE)/(AC)=(2)/(3)，
∴设CE=2x，AC=3x，
∵四边形BDCF是菱形，
∴BE=CE=2x，
∴BC=4x，
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴DF=AC=3x，
∵四边形BDCF的面积为24，
∴(1)/(2)×BC×DF=24，
∴(1)/(2)•4x•3x=24，
解得：x=2（负数舍去），
∴CE=4，DF=6，
∴DE=EF=(1)/(2)×6=3，
∵DE⊥BC，
∴∠CEF=90°，
∴由勾股定理得：CF=√(CE2+EF2)=√(42+32)=5．