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(2005•南充)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点,点M,N分别为AB,BC边上的中点,则MP+NP的最小值是()A.2B.1C.2D.12
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828b224e8154fe1f4134970a5a13.jpg)
A.2
B.1
C.
2 |
D.
1 |
2 |
▼优质解答
答案和解析
作点M关于AC的对称点M′,连接M′N交AC于P,此时MP+NP有最小值.
∵菱形ABCD关于AC对称,M是AB边上的中点,
∴M′是AD的中点,
又N是BC边上的中点,
∴AM′∥BN,AM′=BN,
∴四边形AM′BN是平行四边形,
∴PN∥AB,
又N是BC边上的中点,
∴PN是△CAB的中位线,
∴P是AC中点,
∴PM∥BN,PM=BN,
∴四边形PMBN是平行四边形,
∵BM=BN,
∴平行四边形PMBN是菱形.
∴MP+NP=BM+BN=BC=1.
故选B.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df431adcbef7609033985282ddda3cc7cd99e52.jpg)
∵菱形ABCD关于AC对称,M是AB边上的中点,
∴M′是AD的中点,
又N是BC边上的中点,
∴AM′∥BN,AM′=BN,
∴四边形AM′BN是平行四边形,
∴PN∥AB,
又N是BC边上的中点,
∴PN是△CAB的中位线,
∴P是AC中点,
∴PM∥BN,PM=BN,
∴四边形PMBN是平行四边形,
∵BM=BN,
∴平行四边形PMBN是菱形.
∴MP+NP=BM+BN=BC=1.
故选B.
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