如图，四边形ABCD是直角梯形，AB=8，CD=6，高AD=4，点P从点B出发向点A运动，过点P作PQ∥BC交射线AD于点Q，当点P与点A重合时，点Q停止运动．设BP=x，AQ=y．（1）求线段BC的长；（2）求y关于x的函

Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，AB=8，CD=6，高AD=4，点P从点B出发向点A运动，过点P作PQ∥BC交射线AD于点Q，当点P与点A重合时，点Q停止运动．设BP=x，AQ=y．
（1）求线段BC的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△CPQ为直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点C作CE⊥AB，BE=2，CE=4，
在Rt△BCE中，BC=2√(5)；

（2）∵PQ∥CB，
∴∠QPA=∠B，
∵∠QAP=∠CEB=90°，
∴△APQ∽△EBC，
∴(y)/(8-x)=(4)/(2)
y=16-2x；

（3）①当∠QCP=90°时，如图1，
可证△QCD∽△PCE，(CD)/(CE)=(QD)/(PE)，即(6)/(4)=(16-2x-4)/(x-2)
解得x=(30)/(7)；
②当∠CQP=90°时，如图2，可证△CDQ∽△QAP，
∴(CD)/(AQ)=(DQ)/(AP)，即(6)/(16-2x)=(4-(16-2x))/(8-x)
解得x₁=7.5，x₂=8（增根，舍去）；
③当∠CPQ=90°时，如图1，
∵PQ∥BC，所以∠PCB=90°，可证△PCE∽△BCE，
∴(BC)/(BP)=(CE)/(BC)，即（2√(5)）²=2x，
x=10＞8，舍去．
综上，当x=(30)/(7)或x=7.5时，△QCP是直角三角形．