已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，-π2＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，-3)，若|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3．（1）求函

Question

已知点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，-(π)/(2)＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，-√(3))，若|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为(π)/(3)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[0，(π)/(6)]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）角φ的终边经过点P(1，-√(3))，
∴tanφ=-√(3)，…（2分）
∵-(π)/(2)＜φ＜0，∴φ=-(π)/(3)．…（3分）
由|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为(π)/(3)，得T=(2π)/(3)，
即(2π)/(ω)=(2π)/(3)，∴ω=3…..（5分）
∴f(x)=2sin(3x-(π)/(3))…（6分）
（2）由-(π)/(2)+2kπ≤3x-(π)/(3)≤(π)/(2)+2kπ，
可得-(π)/(18)+(2kπ)/(3)≤x≤(5π)/(18)+(2kπ)/(3)，…（8分）
∴函数f（x）的单调递增区间为[-(π)/(18)+(2kπ)/(3)，k∈z…（9分）
（3 ） 当x∈[0，(π)/(6)]时，-√(3)≤f(x)≤1，…（11分）
于是，2+f（x）＞0，
∴mf（x）+2m≥f（x）等价于m≥(f(x))/(2+f(x))=1-(2)/(2+f(x))…（12分）
由-√(3)≤f(x)≤1，得(f(x))/(2+f(x))的最大值为