已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系

Question

已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．

（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．
①求(EF)/(AK)的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．

Answer 1

（1）①∵EF∥BC，
∴(AK)/(AD)=(EF)/(BC)，
∴(EF)/(AK)=(BC)/(AD)=(12)/(8)=(3)/(2)，
即(EF)/(AK)的值是(3)/(2)．

②∵EH=x，
∴KD=EH=x，AK=8-x，
∵(EF)/(AK)=(3)/(2)，
∴EF=(3)/(2)(8-x)，
∴S=EH•EF=(3)/(2)x（8-x）=-(3)/(2)(x-4)2+24，
∴当x=4时，S的最大值是24．

（2）设正方形的边长为a，
①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，
(8-a)/(a)=(8)/(12)，
解得a=(24)/(5)．
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=12÷2=6，
∴AB=AC=√(AD2+BD2)=√(62+82)=10，
∴AB或AC边上的高等于：
AD•BC÷AB
=8×12÷10
=(48)/(5)
∴((48)/(5)-a)/(a)=((48)/(5))/(10)，
解得a=(240)/(49)．
综上，可得
正方形PQMN的边长是(24)/(5)或(240)/(49)．