（2014•柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，54），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求该二次函数的解析式

Question

（2014•柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，(5)/(4)），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在-1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．
（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
附：阅读材料
   任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
   即：设一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，
   则：x₁+x₂=-(b)/(a)，x₁•x₂=(c)/(a)
   能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
   例：不解方程，求方程x²-3x=15两根的和与积．
   解：原方程变为：x²-3x-15=0
∵一元二次方程的根与系数有关系：x₁+x₂=-(b)/(a)，x₁•x₂=(c)/(a)
∴原方程两根之和=-(−3)/(1)=3，两根之积=(−15)/(1)=-15．

Answer 1

（1）由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），
因此二次函数的解析式可设为y=ax²+1．
∵抛物线y=ax²+1过点（-1，(5)/(4)），
∴(5)/(4)=a+1．
解得：a=(1)/(4)．
∴二次函数的解析式为：y=(1)/(4)x²+1．

（2）当x=-1时，y=(5)/(4)，
当x=0时，y=1，
当x=3时，y=(1)/(4)×3²+1=(13)/(4)，
结合图1可得：当-1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜(13)/(4)．

（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，
∴GP平分∠AGB．
∴直线GP是∠AGB的对称轴．
过点A作GP的对称点A′，如图2，
则点A′一定在BG上．
∵点A的坐标为（x₁，y₁），
∴点A′的坐标为（-x₁，y₁）．
∵点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直线y=kx+2上，
∴y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2．
∴点A′的坐标为（-x₁，kx₁+2）、点B的坐标为（x₂，kx₂+2）．
设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．
∵点A′（-x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直线BG上，
∴

−x1m+n＝kx1+2

x2m+n＝kx2+2

．
解得：

m＝(k(x2−x1))/(x2+x1)

n＝(2kx1x2)/(x2+x1)+2

．
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是直线y=kx+2与抛物线y=(1)/(4)x²+1的交点，
∴x₁、x₂是方程kx+2=(1)/(4)x²+1即x²-4kx-4=0的两个实数根．
∴由根与系数的关系可得；x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
∴n=(2k×(−4))/(4k)+2=-2+2=0．
∴点G的坐标为（0，0）．
∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．
②过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，
∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，
∴点P的坐标为（0，2）．
∴PG=2．
∴S_△ABG=S_△APG+S_△BPG
=(1)/(2)PG•AC+(1)/(2)PG•BD
=(1)/(2)PG•（AC+BD）
=(1)/(2)×2×（-x₁+x₂）
=x₂-x₁
=√((x2+x1)2−4x1x2)
=√((4k)2−4×(−4))
=√(16(k2+1))
=4√(k2+1)．
∴当k=0时，S_△ABG最小，最小值为4．
∴△GAB面积的最小值为4．