锐角三角形ABC中,已知h为垂心,AD为BC边上的高,E为BC上的中点,AD=BC=5,Hd+HE=?

Question

锐角三角形ABC中,已知h为垂心,AD为BC边上的高,E为BC上的中点,AD=BC=5,Hd+HE=?

Answer 1

方法一：设∠B<∠C.(反之亦然) 

则BC边上各点依次为B,E,D,C. 

延长CH交AB于F,连接EF,则⊿FEC为等腰三角形(EF=EC=BC/2). 

H为底边FC上一点,有FH*HC=EF^2-HE^2.(证明从略). 

又⊿AFH∽⊿CDH,FH/HD=AH/CH,即FH*HC=AH*HD=(AD-HD)*HD 

=(BC-HD)*HD=BC*HD-HD^2=2*EF*HD-HD^2. 

即：2*EF*HD-HD=EF^2-HE^2,整理得：HE^2=EF^2-2*EF*HD+HD^2=(EF-HD)^2, 

又因为EF>HE>HD,所以HE=EF-HD,即HD+HE=EF=BC/2=2.5 

方法二： 

锐角三角形ABC中,已知H为垂心,AD为BC边上的高,E为BC的中点,若AD=BC=5,则HD+HE的长是 5/2 (注：HD+HE的长一定是固定的,否则无数个答案毫无意义,所以用特殊的方法找出结果即可,不妨使AB=AC)