在锐角△ABC中,AB>AC,∠BAC=60°,O、H分别为△ABC的外心、垂心,直线OH分别与AB、AC交于点P、Q,求证PO=HQ

Question

在锐角△ABC中,AB>AC,∠BAC=60°,O、H分别为△ABC的外心、垂心,直线OH分别与AB、AC交于点P、Q,求证PO=HQ

Answer 1

外接圆半径为R,
∵△AHE∽△ACD
∴AH=AE·AC/AD
又∵AE=AB·cosA,AD=AC·sinC
∴AH=AB·cosA/sinC=AB/(2sinC)=R
∴AO=AH
又∵∠AON=1/2(∠AOB)=∠C（圆上的）
∴∠NAO=90°-∠AON=90°-∠C=∠EAH
∴△AON≌△AHE（HL)
∴NO=HE,AO=AH,∠AON=∠AHE
∴等腰三角形AOH
∴∠AOH=∠AHO
∴∠NOP=180°-∠AON-∠AOH=180°-∠AHO-∠AHE=∠QHE
∴△NOP≌△EHQ（SAS）
∴PO=HQ □.