已知A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上两点，O为原点，若|AO|=|BO|，△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是x=5p2x=5p2．

Question

已知A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上两点，O为原点，若|AO|=|BO|，△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是

x=(5p)/(2)

x=(5p)/(2)

．

Answer 1

由A、B是抛物线y²=2px（p＞0）的两点，|AO|=|BO|，及抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．
设直线AB的方程是 x=m，则  A（ m，√(2pm)）、B（m，-√(2pm)）
|△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F（(p)/(2)，0 ）
∴AF⊥OB，K_AF•K_OB=-1，
∴(√(2pm)−0)/(m−(p)/(2))•(−√(2pm)−0)/(m−0)=-1
∴m=(5p)/(2)，∴直线AB的方程是 x=(5p)/(2)