如图，O，H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点．由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F．求证：D，E，F三点共线．

Question

如图，O，H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点．由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F．求证：D，E，F三点共线．

Answer 1

证明：如图，连接OA、OD，并延长OD交⊙O于M，
则OD⊥BC，

BM

＝

CM

，
∴A、E、M三点共线，
又AE、AF是∠A及其外角平分线，
∴AE⊥AF，
∵HE⊥AE，HF⊥AF，
∴四边形AEHF为平行四边形，
∴AH与EF互相平分，设其交点为G，
于是，AG=(1)/(2)AH=(1)/(2)EF=EG，
∵OA=OM，OD∥AH，
∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GAE，
∴EG∥OA           ①
又O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC，
∴OD=(1)/(2)AH=AG，
∴四边形AODG为平行四边形，
∴DG∥OA，②
由①②可知，D、E、G三点共线，
而F在EG上，
∴D、E、F三点共线．