证明：三角形的重心到三个顶点的向量之和为0并证明三角形重心坐标公式

Question

证明：三角形的重心到三个顶点的向量之和为0 并证明三角形重心坐标公式

Answer 1

方法1：
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),再设BC中点为D,我们知道,重心G是中线上的一个三等分点,所以AG=2 GD,
D的坐标是((x2 + x3)/2,(y1 + y2)/2),
再设G(x,y),所以AG = (x - x1,y - y1),GD = ((x2 + x3)/2 - x,(y2 + y3)/2 - y),代入AG = 2GD,可以解得
x = (x1 + x2 + x3)/3,y = (y1 + y2 + y3).然后证明向量之和为0不用我说了吧.
方法2：
因为D是BC中点,所以可以知道,2 GD = GB + GC,同时,因为AG = 2GD,所以,AG = GB + GC,即GA + GB + GC = 0.
因为GA + GB + GC = 0,设坐标原点为O,所以GA = OA - OG,GB = OB - OG,GC = OC - OG,所以,3 OG = OA + OB + OC,然后重心坐标公式自己证明吧,OG = (OA + OB + OC) / 3