已知O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交O于点D（1）如图1，求证：BD=ED；（2）如图2，AD为O的直径．若BC=6，sin∠BAC=35，求OE的长．

Question

已知 O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交 O于点D
（1）如图1，求证：BD=ED；
（2）如图2，AD为 O的直径．若BC=6，sin∠BAC=(3)/(5)，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：连接BE．

∵是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠DBC=∠CAD．
∴∠DBC=∠BAC．
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB．
∴BD=ED．
（2）如图2所示；连接OB．

∵AD是直径，A平分∠BAC，
∴AD⊥BC，且BD=FC=3．
∵∠BAC=∠BOD，sin∠BAC=(3)/(5)，BF=3，
∴OB=5．
∵在Rt△BOF中，BF=3，OB=5，
∴OF=√(OB2-BF2)=4．
∴DF=1．
在Rt△BDF中，BF²+DF²=BD²．
∴BD=√(10)．
∴DE=√(10)．
使用OE=5-√(10)．