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过△ABC内心I任意一条直线,分别交ABAC于P,Q则ABAC/AP+ACAB/AQ=AB+BC+AC怎么证明
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过△ABC内心I任意一条直线,分别交AB AC 于P,Q则ABAC/AP+ACAB/AQ=AB+BC+AC怎么证明
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答案和解析
假设内切圆半径=r,(AB+BC+AC)×r/2=S△ABC
AB*AC/AP+AB*AC/AQ=AB*AC/(AP*AQ)*(AP+AQ)
(AP+AQ)×r/2=S△APQ,S△APQ*AB*AC/(AP*AQ)=S△ABC
所以,(AB+BC+AC)×r/2=(AB*AC/AP+AB*AC/AQ)×r/2
AB*AC/AP+AC*AB/AQ=AB+BC+AC
AB*AC/AP+AB*AC/AQ=AB*AC/(AP*AQ)*(AP+AQ)
(AP+AQ)×r/2=S△APQ,S△APQ*AB*AC/(AP*AQ)=S△ABC
所以,(AB+BC+AC)×r/2=(AB*AC/AP+AB*AC/AQ)×r/2
AB*AC/AP+AC*AB/AQ=AB+BC+AC
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