设G、M分别是△ABC的重心和外心，A（0，-a），B（0，a）（a＞0），且GM＝λAB，（1）求点C的轨迹方程；（2）是否存在直线m，使m过点（a，0）并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且OP−OQ＝0？若存

Question

设G、M分别是△ABC的重心和外心，A（0，-a），B（0，a）（a＞0），且

GM

＝λ

AB

，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）是否存在直线m，使m过点（a，0）并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且

OP

−

OQ

＝0？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设C（x，y），则G（(X)/(3)，(Y)/(3)），
因为

GM

＝λ

AB

，所以GM∥AB，则M（(X)/(3)，0）
由M为△ABC的外心，则|MA|=|MC|，即√(((x)/(3))2+a2)＝√(((x)/(3)−x)2+y2)，
整理得：(x2)/(3a2)+(y2)/(a2)＝1(x≠0)；（5分）
（2）假设直线m存在，设方程为y=k（x-a），
由√(y＝k(x−a)(x2)/(3a2)+作业帮用户2017-10-24问题解析（1）设C（x，y），则G（(X)/(3)，(Y)/(3)），由题意知M（(X)/(3)，0），再由M为△ABC的外心，可求出点C的轨迹方程．（2）假设直线m存在，设方程为y=k（x-a），由y＝k(x−a)(x2)/(3a2)+(y2)/(a2)＝1，(x≠0)得：（1+3k2）x2+6k2ax+3a2（k2-1）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根与系数的关系可以推出存在直线m，其方程为y=±√(3)（x-a）．名师点评本题考点：轨迹方程；平面向量数量积坐标表示的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．考点点评：本题考查圆锥曲线知识的综合运用，解题时要注意求轨迹方程的技巧．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)