如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA．（1）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）若二面角B-AB1-C1的余弦值为−57，设AA1BC＝λ，求

Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若二面角B-AB₁-C₁的余弦值为−(5)/(7)，设(AA1)/(BC)＝λ，求λ的值．

Answer 1

（1）取BC中点M，连接B₁M，
则B₁M⊥面ABC，
∴面BB₁C₁C⊥面ABC，
∵BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB₁C₁C，
∵AC⊂面ACC₁A₁，
∴面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁．
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，
过点C与面ABC垂直方向为oz轴，
建立空间直角坐标系，设AC=BC=2，B₁M=t，
∵B₁M⊥面ABC，M是BC中点，
∴A（2，0，0），B（0，2，0），B₁（0，1，t），C₁（0，-1，t），
即

AB1

＝(−2，1，t)，

AB

＝(−2，2，0)，

AC1

＝(−2，−1，t)，
设面AB₁B法向量

n1

＝(x，y，z)
∵

n1

•

AB1

＝0，

n1

•

作业帮用户 2017-10-15

问题解析

（1）取BC中点M，连接B₁M，则B₁M⊥面ABC，故面BB₁C₁C⊥面ABC，由BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC，知AC⊥面BB₁C₁C，由此能够证明面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁．
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，设AC=BC=2，B₁M=t，则

AB1

＝(−2，1，t)，

AB

＝(−2，2，0)，

AC1

＝(−2，−1，t)，面AB₁B法向量

n1

＝(1，1，(1)/(t))，面AB₁C₁法向量

n2

＝((t)/(2)，0，1)，由此能求出λ的值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查平面与平面的垂直的证明，求λ的值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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