已知P为圆x2+y2=4上任意一点，Q为点P在x轴上的射影，M为线段PQ的中点，（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点E（0，2）的直线l与曲线C交于A、B两点，若点O在以AB为直径的圆上或圆外（O为

Question

已知P为圆x ² +y ² =4上任意一点，Q为点P在x轴上的射影，M为线段PQ的中点，
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点E（0，2）的直线l与曲线C交于A、B两点，若点O在以AB为直径的圆上或圆外（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

Answer 1

（1）设M（x，y），则P（x，2y），
∵点P在圆x ² +y ² =4上，
∴x ² +（2y） ² =4，
所以点M的轨迹C的方程为 +y ² =1；
（2）依题意，显然l的斜率存在，设l：y=kx+2，
由方程组 ，消y得（1+4k ² ）x ² +16kx+12=0，
∵直线l与C有两交点，
∴△=（16k） ² -4×12·（1+4k ² ）＞0，解得k ² ＞ ，
且x _A +x _B = ，x _A ·x _B = ；
又∠AOB为直角或锐角，x _A ·x _B +y _A ·y _B ≥0，
即x _A ·x _B +（kx _A +2）（kx _B +2）≥0，
（1+k ² ）x _A ·x _B +2k（x _A +x _B ）+4≥0，
所以（1+k ² ） -2k +4≥0，解得k ² ≤4，
故直线l的斜率k的取值范围是k∈ 。